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Laborbericht
Physik

Mapple Valley Highschool

First session

Jörg I. ©
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ID# 69627







Rapport de laboratoire : recherche de la force de frottement



THÉORIE

On doit concevoir une sortie d’autoroute en déterminant précisément que devra être la valeur du rayon de courbure de cette sortie. La sortie sera constituée de béton et ne sera ni mouillée, ni enneigée.


La vitesse limite donnée par la loi est de 100km/h, mais certains conducteurs ne s’en préoccupent pas et roulent à 120 km/h. On devra faire les calculs en conséquence de la vitesse de 120 km/h pour pouvoir accommoder ces conducteurs lors de leur début dans la sortie et pou. Or, pour ce qui est de la masse des automobiles, elle importera peu, car elle sera annulée dans les calculs.

Il ne faudra donc pas prendre en considération la masse des voitures ou des camions (par contre, la vitesse sera importante). La sortie se situera sur un terrain plat, horizontal, donc il n’y aura aucune contrainte liée à l’inclinaison de la courbe.


On doit alors s’assurer que cette sortie ne soit pas dangereuse pour les conducteurs roulant à une vitesse inférieure ou égale à 120 km/h et déterminer le rayon de celle-ci.


Pour ce faire, il faudra utiliser la deuxième loi de Newton pour obtenir les équations suivantes:

1)


OĂą;

= sommation des forces en r’

= force de frottement statique maximale

= masse du bolide

= accélération centripète

= vitesse de l’auto (au carré)

r = rayon du cercle.


Cette équation servira à trouver le rayon de la sortie. Donc étant donné qu’on

n’utilisera pas toutes ces variables, on doit garder l’essentiel, soit:


2)

OĂą:

= sommation des forces selon l’axe des y

n = force normale exercée par l’asphalte sur le bolide

m = masse du bolide

g = force gravitationnelle exercée par le bolide sur la Terre

= accélération selon l’axe des ordonnées


Cette équation égale toutefois 0, car il n’y a pas d’accélération selon l’axe des ordonnées, donc vu queest un paramètre multiplicatif, on obtient 0. La formule revient donc à cela:


Cette équation sera utile, car on pourra substituerpardans la formule 3) (ci-dessous) et rendre la résolution beaucoup plus facile.


3)

OĂą:

= coefficient de frottement statique

Même utilité que l’équation 2), l’équation sera plus simple à résoudre et ce sera efficace.

Diagrammes des forces:


Diagramme de forces exercées sur la brique de béton:

Diagramme des forces exercées sur une voiture à la sortie de l’autoroute

LĂ©gende

fsm : force de frottement statique maximal (N) n : force normale (N)

T : tension (N) mg : force gravitationnelle (N/kg)

r : rayon de courbure (m) a : accélération (m/s²)


Équations mathématiques:


Somme des forces en r’(axe horizontal):


⇒ Équation #1


Sommes des forces en y (axe vertical):


⇒ Équation #2


Équation de la force de frottement statique en fonction du coefficient de frottement et de la normale:


⇒ Équation #3


Équation théorique du rayon en fonction du coefficient de frottement statique:


Tout d’abord pour trouver cette équations, on doit insérer l’équation #2 dans l’équation #3 (on remplace le n de l’équation #3 par mg)


Il faudra, par la suite, insérer cette équation dans l’équation #1 (on remplacede l’équation #1 parde l’équation ci-dessus.

Il reste finalement qu’à isolerqui correspond au rayon de la route que l’on recherche.


Pour isoler le rayon, on peut simplifier la variable, car elle peut commune des deux bords de l’équation.

Ensuite, on multiplie des deux bords de l’équation parpour l’amener au numérateur.


On divise finalement les deux bords de l’équation parpour pouvoir isolerOn obtient l’équation nécessaire pour trouver le rayon que la courbure de la sortie de l’autoroute devrait avoir pour qu’il assurer la sécurité des automobilistes.


RĂ©sultats


Tableau 1: Masse de la brique

M (kg)

IA (m) (kg)

2,224

±0,001

Tableau 2: Valeurs des forces de frottement statiques maximales (N) et des forces normales (N) selon la masse totale déplacée (kg)

m

IA (m)

(m+M)

IA (m+M)

n

fsm1

fsm2

fsm

IA(fsm)

(kg)

(kg)

±

(kg)

(kg)

±

(N)

(N)

(N)

(N)


(N)

±

0,000

0

2,244

0,001

21,99

18,15

18,22

18,19

0,04

0,300

0,002

2,544

0,003

24,93

20,76

20,79

20,78

0,02

0,600

0,003

2,844

0,004

27,87

23,10

22,90

23,00

0,1

0,900

0,005

3,144

0,006

30,81

25,96

25,76

25,86

0,1

1,200

0,006

3,444

0,007

33,75

28,46

28,28

28,37

0,09

LĂ©gende

M : masse de la brique (kg)

IA (M) : incertitude absolue sur la masse de la brique (± kg)

m : masse ajoutée (kg)

IA (m) : incertitude absolue sur la masse ajoutée (± kg)

(m + M) : masse totale (kg)

IA (m + M) : incertitude absolue sur la masse totale (± kg)

n : force normale (N)

fsm : force de frottement statique maximale (N)

IA(fsm) : incertitude absolue sur la force de frottement statique maximale (± N)


Justification des incertitudes

La première incertitude absolue est celle associée à la masse de la brique. Sa valeur est de ± 0,001 kg puisque pour mesurer la masse de la brique, une balance à une précision de trois chiffres décimales fut utilisée, et l’incertitude choisie fut donc, par convention, une unité de même ordre que le dernier chiffre significatif, ce qui est égal à une incertitude absolue sur la masse de la brique de 0,001 kg.


La deuxième incertitude absolue est celle associée à la masse ajoutée. Une incertitude de ± 0,5% fut assumée sur chacune des rondelles de masses ajoutées. Puisque chaque rondelle ajoutée avait une masse de 0,1 kg ; l’incertitude absolue augmentait donc de 0,0005 kg pour chaque rondelle de 0,1 kg ajoutée. Lorsqu’un nombre impair de rondelles était ajouté, le calcul de l’incertitude absolue donnait un résultat à deux chiffres significatifs, mais puisqu’une incertitude absolue ne peut avoir qu’un seul chiffre significatif, on a dû arrondir ces incertitudes à leur unité supérieure.


La troisième incertitude absolue est celle associée à la masse totale déplacée, c’est-à-dire à la somme de la masse de la brique et de la masse ajoutée. Cette incertitude est simplement égale à l’addition de l’incertitude absolue associée à la masse de la brique et de l’incertitude absolue associée à la masse ajoutée.


La quatrième et dernière incertitude absolue est celle associée à la force de frottement statique maximale. Celle-ci est le résultat du calcul suivante :

Puisque deux essais furent effectués pour chaque masse totale, ce calcul, qu’on appelle la méthode des extrêmes, était possible, puisqu’il y avait toujours une force de frottement qui était un peu plus élevée que l’autre valeur de force de frottement obtenue pour une même masse. Le résultat de ce calcul est l’incertitude absolue associée à la force de frottement statique maximale. (En ± N)



Exemples de calcul


Calcul de l’incertitude absolue sur la masse ajoutée (quand m=0,300 kg)

IA

IA


Calcul de la masse totale déplacée sur le caoutchouc (brique + masse ajoutée) (quand m = 0,300 kg)


(m + M) = m + M = 0,300 kg + 2,224 kg = 2,524 kg


Calcul de l’incertitude absolue sur la masse totale déplacée sur le caoutchouc (quand m + M = 2,524 kg)


IA(m + M) = IAm + IAM = 0,0015 kg + 0,001 kg = 0,0025 kg


Puisqu’une incertitude absolue n’a qu’un seul chiffre significatif, on arrondit cette incertitude à 0,003 kg (à l’unité supérieure), c’est donc dire que IA(m + M) = 0,003 kg.


Calcul de la force normale (quand m + M = 2,244 kg)

Calcul de la force de frottement moyenne (quand m = 0,300 kg)


Calcul de l’incertitude absolue sur la force de frottement moyenne obtenue pour une masse totale déplacée (quand


Puisqu’une incertitude absolue n’a qu’un seul chiffre significatif et qu’il doit être du même ordre que la valeur qu’il accompagne, on arrondit cette incertitude absolue à 0,04 N (on arrondit à l’unité supérieure, pour avoir la bonne incertitude), ce qui signifie que= 0,04 N.


Calcul du coefficient de frottement statique maximal entre les pneus (caoutchouc) et la surface (béton/asphalte)


D’où :


Or, ce calcul est automatiquement effectué dans le calcul de la pente du graphique de la force de frottement statique maximale en fonction de la force normale. Puisqu’une pente est égale au quotient de la valeur dépendante divisée par la valeur indépendante, on peut conclure que dans le graphique #1, le quotient est égale à, ce qui est aussi égal àet donc sachant que la pente de la droite est égale à 0,8658, il est vrai d’affirmer que la valeur du coefficient de frottement statique maximal obtenu expérimentalement est de 0,8658.



Calcul de l’écart relatif (ÉR) de la valeur du coefficient de frottement statique par rapport à la valeur attendue

En somme, nous avons un écart relatif de -3,8 % avec la valeur attendue. Le signe négatif signifie que notre valeur est plus basse que la valeur réelle, ce qui est tout à fait normal.


Calcul de la vitesse maximale


Calcul du rayon de courbure maximal nécessaire pour que la sortie d’autoroute soit nécessaire


Discussion


Nous voulions dans cette expérience déterminer le rayon maximale de la courbure de la sortie d’une autoroute qui serait sécuritaire pour des voitures et des camions roulant à une vitesse de 120km/h. Pour y arriver, nous avons utilisé la deuxième loi de Newton qui stipule que la somme des forces équivaut à la masse multipliée par l’accélération qui est dans ce cas-ci, une accélération centripète, car les automobiles se déplacent autour d’un point fixe (courbure de la route).


Cependant, nous ne connaissons pas le coefficient de frottement statique (). C’est là que notre expérience nous sera utile. En effet, nous avons simulé la situation à plus petite échelle en tirant une brique de béton qui correspond à la route sur une surface caoutchoutée qui représente le pneu d’une voiture. En se référant aux valeurs valeurs maximales que le dynamomètre a mesuré nous pourrons créer un graphique qui met en relation la force de frottement statique avec la force normale qui correspond au Graphique #1. On remarque que ce graphique crée une courbe linéaire, c’est-à-dire une droite et c’est à quoi on s’attendait, puisqu’il est normal d’affirmer qu’en augmentant la grandeur de la force normale, la force de frottement statique augmenterait nécessairement aussi, proportionnellement.


La valeur decoïncide donc avec la pente de la droite de tendance, car celle-ci peut être calculée en divisantparce qui équivaut au coefficient de frottement statique. Nous obtenons, alors un coefficient de 0,8658 qui peut être fondé, car le R2 de la droite est très proche de 1, soit 0,9989 ce qui démontre qu’il y a eu très peu d’erreurs possibles au cours de l’expérience, et que chacune des valeurs obtenues est précise.

La précision n’est donc pas un problème dans l’expérience, et on peut affirmer que les valeurs obtenues sont réalistes et font du sens.


De plus, notre valeur expérimentale du coefficient de frottement a un écart relatif de -3,8 % avec la valeur théorique qui est de 0,9 ce qui prouve une fois de plus que nous avons été exacts dans notre expérience, puisque cet écart est plutôt bas. (<10%). Cet écart relatif peut être la cause de la sommation de toutes les incertitudes. En effet, il y a une incertitude sur la masse pesée de la brique.


Une fois le coefficient de frottement trouvé, à l’aide de l’expérience qui fut effectuée en laboratoire, nous pouvons revenir sur le problème initialement posé et nous pouvons donc calculer le rayon de courbure de l’autoroute en utilisant la formule. Nous obtenons donc un rayon de courbure maximal et sécuritaire de 130,7 m. Cela signifie qu’avec un rayon de courbure de 130,7 m pour une sortie d’autoroute, les voitures, peu importe la masse, puisque cette variable est annulée dans le calcul du rayon, peuvent prendre cette sortie en roulant à 120 km/h.


En somme, il est vrai d’affirmer qu’en plus d’être précise, l’expérience réalisée fut tout aussi exacte et a permis d’atteindre l’objectif de départ qui était de calculer le rayon de courbure d’une sortie d’autoroute.


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